La idea geométrica

Con la venia de los poetas Sotuyo y Ramírez, matemáticos.

No es mi intención que usted regrese a la enseñanza media para dedicarse a la construcción de tetraedros o esferas, o para demostrar teoremas de semejanza de triángulos. A mí me convendría darme de cuando en vez un refrescamiento de mis orígenes, pero en verdad sólo pretendo que pensemos en lo que tenemos ahora mismo a mano para idear, en medio del despelote de las ideas, cómo medir la tierra. Pues eso es lo que significa la palabra geometría, y los postulados de Euclides y el teorema de Pitágoras y otros dolores de cabeza de la adolescencia bruta, resulta que surgieron de la necesidad de medir adecuadamente un pedazo de tierra en el Egipto del Nilo, por razones de bruta o brillante supervivencia. Pasar de un pedazo de suelo enfangado a la noción de plano, punto, recta y ángulo, y a las relaciones entre esas boberías, equivale a llegar a la plenitud del pensamiento abstracto, un salto frente al cual la física cuántica o la Inteligencia Artificial no son sino derivaciones sin demasiado mérito. Medir la tierra se convirtió en descubrir el tamaño de la inteligencia humana. Se puede medir y ante todo comprar un área en Dubai para erigir un jardín abrumador o un rascacielos de espanto, pero qué va, nada de eso es importante comparado con la evidencia de que por un punto ajeno a una recta pasa una sola paralela a esa recta. Otros locos llegaron a la conclusión de que si usted tiene tres esclavas chinas y se las roban a la fuerza, usted se queda sin esclavas, es decir, con cero esclavas. Y da igual si son islámicas o nubias. Geometría, números, la necesidad o el impulso indescifrable del humano en el mundo, generan unos elementos puramente mentales, aunque convertidos en dibujos o signos a la larga (una ecuación como la escribimos hoy es un invento de apenas unos quinientos años o menos), que permiten dominar el mundo pero no por la habilidad, la maña o la fuerza sino porque, fijémonos bien, son verdad. Si usted va a cortar una tabla porque quiere una mesa, usted va a actualizar a Euclides, aunque no lo sepa ni le haga falta averiguarlo.

La fascinación con los rascacielos de un kilómetro de altura, a mi juicio una vulgaridad resultado de una soberbia carente de sentido práctico, nos impide ver lo que tenemos: Euclides y lo que vino después, por ejemplo. Sonreímos con aquel aviso que, según la tradición, puso Platón a la entrada de la primera universidad del planeta, la Academia de Atenas: Nadie entre que no sepa Geometría. ¡Hace tanto que salimos de la secundaria, y de la universidad! Los griegos acababan de entrar, en medio de las mismas desgracias y violencias que ahora, aunque menos letales, en el reino de la verdad indiscutible. O eso es lo que ellos creían. Sí, por un punto ajeno a una recta pasa una sola paralela a esa recta. Luego la verdad existe. Incluso es evidente, una vez que se la conoce. Y nada en el mundo humano debe intentarse fuera de la verdad, porque irremediablemente fracasará, además de ser estúpido y feo. De este solemne momento griego surgen muchos senderos universales: el idealismo platónico, el realismo aristotélico, y las matemáticas como ciencia. Y notemos que los dos senderos filosóficos se mantienen y se discuten hasta ahora como verdaderos o falsos. Las matemáticas, sin embargo, sirven para la conquista del mundo, porque son verdad.

La pregunta es si la Geometría, en sentido amplio, puede ayudarnos con su condición de verdad, para ayudarnos a medir la tierra, esto es, a vivir en ella felices.

Propongo pues, sin mucho énfasis y con poca competencia, una reflexión sobre tres logros de la ciencia matemática, muy conocidos. El lector interesado puede buscar la abundante información en línea sobre estos asuntos, así que eludiré en lo posible cualquier didascalia inútil y molesta. Mi interés es reflexionar sobre la calidad de verdad que contienen, rechazando igualmente las interpretaciones espiritualistas que también abundan y que no rechazo, y lejos de la pretensión de creer que hay una matemática universal y para todo. Precisamente otro logro radical, el Teorema de la Incompletitud de Gödel, elimina esa peligrosa fantasía totalitaria. Intento aprender de esos logros para la tarea indeclinable y cada vez más urgente de medir la tierra con la verdad.

El número áureo

Ya Euclides, allá por el siglo tercero antes de Cristo, había descubierto la relación proporcional posible entre dos segmentos de recta y la longitud de esa recta. Y más: que esa relación genera un número que no se reduce a enteros ni fracciones: 1,618… y esos puntos suspensivos denotan que los números siguen sin fin. Es lo que se conoce como un número irracional. Euclides está pensando en una recta sobre un plano, una construcción mental que cabalmente no existe, y que ahora está lejos o por encima o más bien por debajo de la finca enfangada egipcia. Este descubrimiento parece dormirse por siglos, aunque todo matemático occidental o islámico lo conocía, hasta que en 1509 un fraile franciscano, Luca Pacioli, lo pone de moda, señalando la universalidad de esta Divina Proporción. Olvidando la interpretación cristiana y teológica del número, lo cierto es que Pacioli descubre que esta proporción está más acá del plano. Típico hombre del Renacimiento, maestro y compañero de Da Vinci, que ilustró ese libro de la Proporción, Pacioli tenía un tan agudo sentido de la realidad que se le venera actualmente por economistas, financistas y millonarios como el formalizador del sistema de entrada doble de la contabilidad. El fraile educaba comerciantes, y encontró que el número áureo está en la realidad de forma abrumadora, y que incluso podemos y debemos manipularlo. A partir de él comienza a usarse conscientemente en la arquitectura, como generador de armonía, incluso en la pintura de Leonardo. Hoy sabemos que se encuentra por doquier en la naturaleza: en la concha de los moluscos y en la distribución de las hojas de ciertas plantas. Algunos dicen que también en las galaxias espirales. Obsérvese cómo una abstracción aparentemente trivial, relegada por siglos, es confirmada por el estudio de la realidad. Todo artista sabe que el número áureo es respetable y que conviene saber manipularlo. Si usted tiene un filme de ficción a mano, mire su longitud y calcule el punto áureo. Probablemente va a encontrar la escena que conduce al desenlace de la historia. Obsérvese cómo una abstracción relegada por siglos se convierte de pronto en un enigma útil, que explica la realidad y permite participar de ella exitosamente.

La ecuación de Euler

El premio Nobel de Física Richard Feynman ha considerado a esta ecuación como la más bella en la historia de la matemática, por reunir en equivalencia unas magnitudes de primera importancia: el 1, el 0, y los números , i, y .

E a la i por , más 1, es igual a 0.

O lo que es lo mismo, e a la i por es igual a -1.

Pi es un número de moda, hay hasta un filme para entretenerse con él. Sabemos que es otro número irracional, algo como 3,1415… o por ahí. Y que se trata de la relación del diámetro de la circunferencia con su longitud.

El número i es la raíz de -1, y semejante raíz no existe. Es el llamado número imaginario, que da origen a los números complejos. Este artificio resulta sin embargo utilísimo para la solución de ciertas ecuaciones, y para eso fue, con muchas reticencias por su condición de inexistente, imaginado; y asombrosamente resulta eficaz en la Física contemporánea, en la función de onda de Schrödinger, indispensable para entender el movimiento de los átomos. El número supuesto e imposible nos permite describir la realidad con precisión. Con él pasamos de los números reales, apilados en la línea, a su perpendicular, esto es, a un plano, y con funciones en movimiento: números complejos. Esto parece magia y de algún modo lo es. Los imaginarios números complejos resultan más reales que los que llamamos reales y lo son. En cuanto a la magia, Pacioli escribió un libro sobre la prestidigitación con cartas. Siendo fraile y contable, era además jugador de ajedrez; le dedicó un libro a ese juego. Y le hacía magia a los discípulos. Lástima que no llegara a conocer a Euler, que vino después.

El número e es bastante menos popular que el áureo o el . Por el origen geométrico a esos dos se les entiende mejor. Este e resulta ser también irracional, y su valor es algo así como 2, 71828… Hay deportistas del número que recitan de memoria una lista de miles de cifras más, lo que demuestra que las matemáticas pueden ser recreativas y que el humano concibe, admira y desea hasta el agotamiento y el desastre, no se sabe por qué, el Infinito. Piense que usted quiere llegar a un punto determinado y sólo logrará acercarse hasta casi tocarlo, pero infinitamente no. Casi casi pero no. Por ahí anda e, en la realidad del Límite. Evite pensar que eso es lo que le pasa a usted con la mujer amada o con Dios: de hecho el e fue creado, en una evolución muy lenta, pensando por ejemplo en cómo invertir dinero con maña, y resultaría pues tan vulgar como la contabilidad de Pacioli. Cuando al fin, a principios del siglo XVIII, estuvo listo, Euler le llamó e y luego no hubo forma de que se le llamara de otra manera. Leonhard Euler, tal vez el más grande matemático en la historia hasta ahora, se merece esa e. Nunca narcisista: padre de familia, cristiano protestante. Para colmo, sus investigaciones le llevaron a crear esa igualdad en la que su e es el protagonista, y que lleva también con justicia su nombre.

La utilidad práctica de e, y no sólo para hacer dinero, es tan demoledora, que lo más práctico es renunciar a enumerarla aquí.

Pero a cualquiera que contempla como es debido esa ecuación se le olvida la praxis.

¿Cómo es posible eso?

¿Cómo es que hay una conexión tan definida entre números irracionales de origen diverso, con la intervención de un artificio matemático, de un número que no existe?

De ahí que le llamen la Ecuación Universal de Euler.

¿Será que hay unas Armonías Universales, absolutamente ciertas, comprobables por todo el que se atreva a investigarlas?

¿Y que además de contemplarlas, que ya es mucho, podemos usarlas?

Las geometrías imaginarias

Euclides dominó la mente del plano, y el plano de la mente humana, durante dos mil años. Ya esto es un dato fuerte, que habría que tener en cuenta. Un genio aporta una verdad que se mantiene, sin importar los siglos, la estructura social, los conceptos religiosos, la cultura diversa. Un islámico medieval, como un cristiano, veneraba a Euclides por incontestable. Por eso sus famosos cinco postulados, que se nos antojan evidentes, los entusiasmaran al punto de que se intentara formalizarlos a la perfección, demostrándolos lógicamente con las herramientas del mismo infalible Euclides. Y casi lo lograron. Porque fallaba el Quinto Postulado, ese de que por un punto ajeno a una recta pasa sólo una recta paralela a ella. ¿Alguien puede dudar de que es así? ¿Acaso no es lo que vemos y comprobamos? Pero el plano de la mente difiere de la mente en el plano. La demostración fracasaba siempre, aunque en matemáticas una verdad puede tardar siglos en ser fijada. Y una y otra vez se intentó investigar para declarar lo contrario, que no se puede demostrar ese postulado porque es incierto. Esto de afirmar que lo evidente es un disparate puede ser políticamente costoso. De manera que los matemáticos miraban o recomendaban mirar hacia otro lado, o dudaban de sus propias conclusiones. No es sino en los primeros años del siglo XIX cuando en Kazán, un pintoresco y culto rincón del infame Imperio Ruso, Nikolai Ivánovich Lobachevski afirma y demuestra, para escándalo y burla de los sabios y los colegas, que Euclides es sólo parcialmente la verdad, y que hay una geometría en la que por un punto ajeno a una recta, pasan, no una, sino infinitas rectas paralelas.

La demostración era tan incontestable como evidente el Euclides. Pero los listos y cómodos se burlaban de esta audacia, con el argumento de que esa geometría no definía nada en el mundo real. El propio Lobachevki tituló uno sus libros como Geometría Imaginaria. Es interesante que los soviéticos lo proclamaran luego materialista, puesto que rechazaba el idealismo kantiano, las ideas innatas. En ese caso, el sacerdote Félix Varela sería materialista también, y Félix me perdone por escribir esa blasfemia. Varela y Lobachevski se oponen en la misma fecha a esos errores de Kant. Pero Lobachevski padecía esa contradicción: defendía el valor de la realidad, pero insistía en el valor de la lógica. Había otra geometría demostrada, pero no podía mostrar la existencia de un mundo donde su geometría fuera no imaginaria.

Hoy sabemos que la geometría de Euclides es sólo un caso de las infinitas geometrías posibles. Euclides funciona infaliblemente en el plano. O como se ha dicho: en el plano plano. Que en realidad es un invento, una abstracción. Basta que el plano se curve, como una superficie hiperbólica o como una esfera, para que el Quinto Postulado falle. En una superficie hiperbólica, por el punto ajeno a la recta pasan infinitas paralelas. Es lo que estudia la geometría de Lobachevski. En la superficie de una esfera, por ese punto no pasa paralela alguna: todas las rectas se cortan. Y genera la geometría llamada elíptica. Las tres geometrías, euclidiana, hiperbólica y elíptica son sólo casos de la geometría de Riemann, que prevé que los puntos cambien continuamente su curvatura, generando necesariamente geometrías infinitas.

Hay aquí varias lecciones importantes. Primero, la limitación del conocimiento empírico, que nos impide pensar en una geometría no plana, a pesar de que uno conoce digamos una esfera, y un matemático, cualquier curva imaginable. Esto ocurre porque ciertamente no vivimos una realidad curva, no nos deslizamos sobre una esfera. El planeta es un esferoide, pero somos demasiado pequeños para notarlo en la vida cotidiana. Ya un vuelo sobre el Atlántico tiene que atenerse a la curva, pero Nikolai Ivánovich nunca vio un avión. Para caminar de un punto a otro no iremos por una curva sino por una recta, a menos que estemos paseando. El conocimiento de los sentidos puede generar ceguera, y en ese aspecto Kant no deja de tener razón.

Otra lección es la increíble fuerza de realidad del pensamiento abstracto. Lobachevski insiste en que hay otras geometrías posibles, aunque parezcan irreales. Hay que imaginarlas. Y los matemáticos posteriores a él lo entendieron, hasta culminar en Riemann, en la segunda mitad del XIX.

Aquí aparece otra lección: lo que pudiéramos llamar la puntería histórica de los descubrimientos científicos.

Lobachevski es un genio de principios del XIX. Comienza el XX y Albert Einstein descubre el carácter no plano del… universo. Para entender la gravedad según Einstein, la geometría euclidiana no sirve en lo absoluto. Tampoco para el mundo de las micropartículas. Las de Riemann, hijo de Lobachevski, sí. Dicho de otra manera, se ha encontrado de inmediato, en el plano de la historia, la realidad que confirma la predicción abstracta y lógica. Ha aparecido la realidad que profetizaba Lobachevski, y muchísimo más.

Lo rigurosamente imaginario resulta ser absolutamente real.

Coda

Ahora tenemos con qué medir el universo, la finca enfangada del quark y de la metagalaxia.

Sin embargo, eso no nos ha hecho más felices.

Las comedias han desaparecido de los teatros o los cines.

Nadie se ríe, excepto para abusar del prójimo.

Demasiados evangelizadores son pedófilos.

Vuelan los misiles y los drones, y matan inocentes.

Ahora nos abocamos al regreso del Fascismo y la desaparición del humano en aras de la inteligencia de las máquinas.

Se acabó la utopía porque no existió, pero la distopía final ya está garantizada por la ciencia, la tecnología, los políticos desenfrenados y el pueblo enardecido.

¿Está el número áureo y la serie de Fibonacci en las conchas de las polymitas y en los brazos de las galaxias?

Sí y qué.

¿Existe una armonía extraña, sorprendente y verificable en todo lo que existe?

Me da igual. Soy rudo, grosero, tengo un ego, tengo sexo, me gusto y me prefiero a mí mismo, soy valiente, canto y bailo reguetón. Soy sincero, realísimo. Dios, Whitman y el jubiloso tap de Fred Astaire fueron mentiras.

Bien…

Digo: mal.

Socialmente soy plebeyo, pero hasta ahí y desde ahí.

Yo propongo atenernos a la contabilidad de doble entrada de Pacioli con una Divina Proporción.

Armonía, disfrute.

A estirarnos hasta el Límite del Infinito.

Así somos.

A generar las Geometrías Imaginarias de nuestra finca planetaria y personal.

Sé que ya no es posible.

Pues bien, me da igual.

Universalmente.

Leonhard Euler, ora pro nobis.